Eau fraîche c'est le bien. (Glaçons pas tellement. Pas à vif j'espère, là ça serait carrément contre-productif, mais sinon pour l'action purement "froid" c'est pas forcément très utile. Le froid c'est pas mal pour lutter contre l'inflammation principalement, ce qu'il y a fatalement dans le cas d'une blessure, mais très peu par rapport à l'entorse par exemple où là des glaçons emballés sont vraiment efficaces.)
Sinon, désinfection, et si ça coule et/ou si la plaie est suffisamment étendue pour risquer d'avoir des trucs (poussières et autres) qui vont se coller dedans, pansement sec de préférence pas adhésif. Ex. des bandes auto-adhésives, ou des compresses autour du doigt avec un scotch par dessus les compresses, mais éviter les pansements adhésifs à la peau dans le cas des brûlures car les tissus autour de la plaie sont aussi touchés, déshydratés etc. donc le truc collant puis le fait de le décoller ça leur fait pas du bien.
Pour la douleur, tu peux prendre un comprimé de paracétamol ou d'ibuprofène si t'en as.